Limite a $r_s \rightarrow 0$

Nel limite di alta densità $r_s \rightarrow 0$ le funzioni $\alpha_i(r_s)$ vanno come:

$$\alpha_i(r_s \rightarrow 0) = A_i - B_i r_s \ln r_s + O (r_s)$$ (4.7)

La nostra $\epsilon_{xc}(r_s,\zeta)$ avrà allora la forma:

$$\epsilon_{xc}(r_s \rightarrow 0,\zeta) = \epsilon_x (r_s,\zeta) + \beta a_x \mathcal{F}(\zeta) + A_0 - B_0 r_s \ln r_s +$$

$$+ (A_1 - B_1 r_s \ln r_s)\zeta^2 + (A_2 - B_2 r_s \ln r_s)\zeta^4$$ (4.8)

dove

$$\mathcal{F}(\zeta) = \frac{\epsilon_x^{(6)}(r_s,\zeta)}{\epsilon_x^{(6)}(r_s,0)}.$$ (4.9)

Dallo sviluppo perturbativo (1.13),(1.12) ed utilizziamo l'equazione (1.15) ricaviamo le condizioni

$$\begin{eqnarray*} A_0 &=& a_0 = - 0.1925 \\ B_0 &=& -b_0 = \frac{\sqrt{2}}{3 \p... ...-0.039075 - a_x \beta \mathcal{F}(1)\\ B_2 &=& b_0 - b_1 - B_1 \end{eqnarray*}$$