Diagramma di fase

Il nostro risultato ci permette di tracciare il diagramma di fase del gas bidimensionale a temperatura zero, mostrato in Fig. 6.9, relativo al cristallo di Wigner (CW), al liquido paramagnetico (LP) ed al liquido ferromagnetico (LF). Nel diagramma non ci sono fasi stabili a polazizzazione intermedia (vedi [31]). Per la fase fluida l'energia è quella del nostro modello, con i parametri della tabella 5.1. Due diverse stime dell'energia del cristallo invece, sono prese da Tanatar e Ceperley (Ref. [13]) e Rapisarda Senatore (Ref. [13]). Studi simili al nostro con il DMC a nodi fissi, basati su semplici onde piane, sono stati infatti precedentemente svolti da Tanatar,Ceperley e Rapisarda,Senatore [13,26]. Nel lavoro di TC la transizione al cristallo avveniva direttamente dal gas paramagnetico; successivi e più accurati calcoli di RS ed anche altri [42,31] hanno mostrato invece che esiste una zona in cui la fase ferrogmetica è stabile. Poiché l'approssimazione fixed-node porta ad avere una stima variazionale dell'energia, in funzione dei nodi della funzione d'onda, il nostro lavoro, con l'aggiunta del backflow, conferma ulteriormente che esiste un intervallo di densità in cui è più stabile il liquido ferromagnetico. Infatti il backflow tende ad abbassare di più l'energia della fase paramagnetica (LP) rispetto a quella ferromagnetica (LF), con l'effetto di ridurre l'intervallo di densità nel quale la fase ferromagnetica è stabile. Nonostante ciò esiste sempre una zona in cui il gas completamanete polarizzato è più stabile del non polarizzato; possiamo affermare, perciò che il gas bidimensionale subisce una transizione alla fase completamente polarizzata a circa $r_s \!\simeq\! 26.5$. Dal nostro lavoro risulta che il liquido polarizzato cristallizza a circa $32 \leq r_s \leq 40$, recenti esperimenti su Si-MOSFET e su eterostrutture GaAs/AlGaAs sembrano confermare questo risultato [51,27].

Figura: Dipendenza dell' energia $\epsilon$ del gas bidimensionale in funzione di $r_s$ per le fasi del fluido paramagnetico ($\zeta =0$) e ferromagnetico ($\zeta =1$), e per il cristallo di Wigner dato da Tanatar,Ceperley (TC) [13] e da Rapisarda,Senatore (RS) [26]. L'enegia di Madelung $\epsilon _M=-1.1061/r_s$ è stata sottratta al risultato che poi è stato moltiplicato per $r_s^{3/2}$.