Energia di correlazione a $\zeta =0$ e $\zeta =1$

Riportiamo ora la nostra parametrizzazione dell'energia di correlazione in funzione di $r_s$ a $\zeta =0$, $(\epsilon_c(r_s,\zeta=0))$, per alte densità, $r_s < 1$, (figura 6.3), per densità intermedie $0.5 < r_s < 10$ 6.4, confrontandola con altri calcoli dell'energia di correlazione ed altre parametrizzazioni.
Nella figura 6.3 abbiamo riportato anche lo sviluppo perturbativo di $\epsilon_c(r_s,\zeta=0)$ per $r_s \to 0$ di Rajagopal e Kimball (RK) e precedenti parametrizzazioni dell'energia di correlazione, Tanatar Ceperley (TC), Lenac e Sunjic (LS1 e LS2). Come si può ben vedere dalla figura, tutte le altre parametrizzazioni dell'energia non hanno il corretto sviluppo per piccoli $r_s$, al contrario della nostra che rispetta il limite calcolato da RK per $r_s \to 0$. Abbiamo riportato sulla figura 6.3 anche l'energia calcolata da Sato Ichimaru (SI), con tecniche perturbative, questa , se bene si riveli esatta per alta densità, sovrastima l'energia di correlazione già per $r_s \simeq 1$.

Figura: Dipendenza da $r_s$ dell'energia di correlazione per $\zeta =0$ nel limite di alta densità. Il nostro risultato è confrontato lo sviluppo perturbativo di Rajagopal e Kimball (RK) [8], con Tanatar Ceperley (TC) [13], Lenac e Sunjic (LS1 e LS2) [48] e con Sato e Ichimaru (SI) [49].

Per $r_s$ intermedi compresi tra 1 e 10 (vedi figura 6.4) , in cui si trovano buona parte dei sistemi studiati sperimentalmente, le predizioni delle varie teorie sono significativamente distanti l'una dall'altra. La nostra forma per l'energia invece, basata su di un'ottimale interpolazione dei dati QMC rappresenta un considerevole progresso rispetto alle esistenti teorie, ed anche un punto di riferimento per successivi studi.

Figura 6.4: Dipendenza da $r_s$ dell'energia di correlazione per $0.5 < r_s < 10$. Il nostro risultato con Tanatar Ceperley (TC) [13], Lenac e Sunjic (LS1 e LS2) [48], RPA, RPAE, RPHA, RPAG, STLS, EBHF ([9,10] e loro referenze) .

Per basse densità, la nostra parametrizzazione dell'energia di correlazione, ci porta ad una transizione al gas polarizzato a circa $r_s \simeq 26$, come previsto anche da Ref. [31] (figura 6.6). Dai nostri risultati emerge che non ci sono stati a polarizzazione intermedia, quindi la transizione è discontinua.
Riportiamo infine l'energia totale in funzione di $r_s$ (figura 6.5), per alcuni valori di $\zeta$.

Figura 6.5: Energia totale del gas bidimensionale a $\zeta = 0, 0.5, 0.8, 1$ (in Hartree).

Figura 6.6: $\epsilon (r_s,\zeta ) / \mid \epsilon (r_s,0)\mid$ in funzione di $\zeta$ per vari $r_s$ vicini alla transizione di fase

Per $r_s$ molto grandi, dove la correlazione gioca un ruolo molto importante, i modelli teorici proposti per l'energia di correlazione ([17,22]) sono molto lontani dai dati Monte Carlo.