Dipendenza dalla polarizzazione

Per prima cosa abbiamo cercato una rappresentazione semplice per l'energia di scambio e correlazione ad $r_s$ fissato variando la polarizzazione.
Sappiamo che:

• dai nostri dati e da quelli ottenuti nel ref. [31], risulta che per $2 \leq r_s \leq 30$ è possibile descrivere la nostra $\epsilon_{xc}$ nella forma $a + b \zeta ^2 + c \zeta ^4$;
• per $r_s \rightarrow 0$, invece, l'energia di scambio e correlazione è della forma:
  

  $$\epsilon_{xc}(r_s,\zeta)=\epsilon_x(r_s,\zeta)+a_0(\zeta)+b_0(\zeta)r_s\ln r_s + O(r_s)$$ (4.1)

  
  
  dove la dipendenza da $\zeta$ di $\epsilon_x$ e di $a_0(\zeta)$ è nota esattamente [16] e non è ben descritta da un forma del tipo $a + b \zeta ^2 + c \zeta ^4$.

Vogliamo costruire una funzione che si riduca al limite noto per bassi $r_s$ e che invece sia un polinomio biquadratico per $r_s$ più alti. Cerchiamo quindi una $\epsilon _c$ che cancelli a $r_s$ grandi il contributo dei termini di ordine 6 e superiore della $\epsilon_x$. Tali termini, che indichiamo globalmente con $\epsilon_x^{(6)}$, rappresentano fino allo $0.3$ dell'energia di scambio e cioè una quantità molto più grande delle piccole differenze di energia che vogliamo rappresentare per $r_s \cong 20,30$, dove avviene la transizione di fase dal gas paramagnetico al gas polarizzato [31]. Prendiamo una $\epsilon_c (r_s,\zeta)$ della forma:

$$\epsilon_c = \left( e^{-\beta r_s} -1 \right) \epsilon_x^{(6... ... \alpha_0(r_s) + \alpha_1(r_s)\zeta^2 + \alpha_2(r_s)\zeta^4 .$$ (4.2)

In cui

$$\epsilon_x^{(6)} = \epsilon_x - \frac{a_x}{r_s} \left( 2 + \frac{3}{4} \zeta^2 + \frac{3}{64} \zeta^4 \right)$$ (4.3)

dove

$$a_x=\frac{4}{3 \pi \sqrt{2}}. \nonumber$$

Poiché $\epsilon_x^{(6)}$ contiene solo potenze di $\zeta^6$ e superiori abbiamo

$$\alpha_0(r_s) = \epsilon_c (r_s,\zeta)\mid_{\zeta=0}$$

$$\alpha_1(r_s) = 2 \frac{\partial^2}{\partial^2\zeta}\epsilon_c (r_s,\zeta)\mid_{\zeta=0}$$

$$\alpha_2(r_s) = 24 \frac{\partial^4}{\partial^4\zeta}\epsilon_c (r_s,\zeta)\mid_{\zeta=0}$$